Logika Matematika

LOGIKA

 Logika Matematika

Logika matematika adalah sebuah alat untuk bekerja dengan pernyataan (statement) majemuk yang rumit. Termasuk di dalamnya:  Bahasa untuk merepresentasikan pernyataan, Notasi yang tepat untuk menuliskan sebuah pernyataan, Metodologi untuk bernalar secara objektif untuk menentukan nilai benar-salah dari pernyataan.

Contoh :

a) 6 adalah bilangan genap.

b) x + 3 = 8.

c) Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.

d) 12 ≥ 19.

e) Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

f) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

g) Kemarin hari hujan.

h) Kehidupan hanya ada di planet Bumi.

i) 1+2

j) Siapkan kertas ujian sekarang!

k) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

·         Operator Negasi

™ Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya.

Contoh: Jika p = Hari ini hujan  maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan

Tabel kebenaran untuk NOT:

T= True                                    F=False

·         Operator Konjungsi

™ Operator konjungsi biner “∧” (AND)  menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungsinya.

™ Contoh: Jika p = Galih naik sepeda q = Ratna naik sepeda

™ p∧q = Galih dan Ratna naik sepeda

Tabel Kebenaran Konjungsi

™

·         Operator Disjungsi

Operator biner disjungsi “∨” (OR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika

disjungsinya

Contoh= p=“Mesin mobil saya rusak” q=“Karburator mobil saya rusak”

p∨q=“Mesin atau karburator mobil saya rusak.”

 Tabel Kebenaran Disjungsi

™

Berarti p benar, atau q benar, atau keduanya benar!™ Jadi, operasi ini juga disebut inclusive or, karena mencakup kemungkinan bahwa both p dan q keduanya benar.

·         Gunakan tanda kurung untuk mengelompokkan sub-ekspresi:

“Saya baru saja bertemu teman lama, dan anaknya sudah dua atau tiga.” = f ∧ (g ∨ s)

– (f ∧ g) ∨ s artinya akan berbeda

– f ∧ g ∨ s artinya akan ambigu

™ Menurut perjanjian, “¬” presedensinya lebih tinggi dari “∧” dan “∨”. – ¬s ∧ f artinya (¬s) ∧ f  ,   bukan ¬ (s ∧ f)

Latihan

Misalkan p=“Tadi malam hujan”,

q=“Tukang siram tanaman datang tadi malam,”

r=“Pagi ini kebunnya basah.”

¬p = “Tadi malam tidak hujan.”

r ∧ ¬p = “Pagi ini kebunnya basah dan tadi malam tidak hujan.”

¬ r ∨ p ∨ q =“Pagi ini kebun tidak basah, atau tadi malam hujan, atau tukang siram tanaman datang tadi malam.”

·         Operator Implikasi

™ Implikasi p → q menyatakan bahwa p mengimplikasikan q.  p disebut antecedent dan q disebut consequent.  Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak benar,  maka q bisa benar - bisa tidak benar

™ Contoh :

p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih

q = Anda mendapat nilai A

p → q = “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih,  maka anda mendapat nilai A”

Tabel Kebenaran Implikasi

·         Operator Biimplikasi

™ Operator biimplikasi p ↔ q menyatakan bahwa p benar jika dan hanya jika (jikka) q benar

™ p = “SBY menang pada pemilu 2004”

™ q = “SBY akan menjadi presiden mulai tahun 2004.”

™ p ↔ q = “Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden

mulai tahun 2004.”

·         Tautologi

Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi yang berada di dalamnya.

Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai T pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada membuktikan argumen tadi valid.

Argumen berarti memiliki premis-premis dan mempunyai kesimpulan. Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar.

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, makaTini pergi kuliah.

Diubah ke variabel proposisional:

A = Tono pergi kuliah.

B = Tini pergi kuliah.

C = Siska tidur.

Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

A->B (premis)

C->B (premis)

(A V C)->B (kesimpulan)

Selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:

((A->B)^(C->B))->((A V C)->B)

Pemanfaatan Tautologi

Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni:

1. Implikasi secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan A ->B

2. Ekuivalen secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan: A = B. di sini disyaratkan A = B, jika dan hanya jika A <-> B adalah tautologi.

·         Kontradiksi

Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai T, sedangkan kesimpulan bernilai F. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan benar.

Dalam bahasa logika konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu bernilai F, dan terjadi kontradiksi.

Negasi kesimpulan berarti memberi nilai F pada negasi kesimpulan.

Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0

·         Contingent

Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

·         Ekuivalen Logis

Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A ekuivalen B adalah tautologi. Notasi atau simbol A ekuivalen B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.

Pada tautologi dan juga kontradiksi dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi.

Pada contingent, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka tetap disebut ekuivalen secara logis.

Sumber : http://www.gudangmateri.com/2009/12/tautologi-kontradiksi-contingent-dan.html